Теорема Коши́ о среднем значении.Пусть даны две билинейные формы и такие, что: и определены и непрерывны на отрезке ;производные и конечны на интервале ;производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале ;тогда существует , для которой верно:.(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале .)Геометрически это можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .Доказательство:Для доказательства введём функциюДля неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю, а равна как раз необходимому числу.
