На окружности радиуса 20 с центром в вершине С треугольника АВС взята точка Р. Известно, что АВ=25, АС=15, ВС=20, а треугольники АРС и ВРС равновелики.Найдите расстояние от точки Р до прямой АВ,если иезвестно,что оно меньше 25.
В решении этой задачи больше рассуждений, чем собственно вычислений. Из условия ясно, что, поскольку СВ=20=r, а С - центр окружности, то вершина В треугольника АВС лежит на окружности, а А - внутри окружности, т.к. АС меньше радиуса. Из соотношения сторон треугольника АВС АС:ВС:АВ=15:20:25=3k:4k:5k (k=5) видно, что треугольник этот - египетский и потому - прямоугольный, с прямым углом С. Сделаем рисунок. Для того, чтобы треугольники АРС и ВРС были равновелики, они при равных основаниях должны иметь равные высоты. АК=ВМ, РС - общее основание. Но при АК=ВМ прямые АВ и РМ должны быть параллельны; получаем четырехугольник с равными параллельными сторонами АК=ВМ, равными углами при стороне РМ. Отсюда АКМВ - прямоугольник. И АВ||КМ. Обратим внимание на то, что высота СН треугольника АВС равна высотам треугольников АРС и ВРС - все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой. Следовательно, расстояние РТ от точки Р до прямой АВ равно высоте СН треугольника АВС. Высоту СН найдем из площади треугольника АВС. Т.к. треугольник, как мы выяснили, прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов. S =AC*BC:2=15*20:2=150 Но в то же время площадь равна половине произведения высоты СН на АВ: S= СН*АВ:2=150 CH=2S:АВ=300:25=12 РТ=СН=12 Ответ: Расстояние от точки Р до прямой АВ=12
