Трапеция ABCD вписана в окружность, причем прямая AC делит угол A пополам. Найдите угол ABC, если хорда AD стягивает дугу в 108 градусов. Ответ дайте вградусах.
O - центр окружности. угол AOD=108 градусов. Т.к. Трапеция вписана, то она равнобедренная (AB=CD). Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противолежащих углов равна 180 градусов, т.е. угол A + угол C = 180 градусов, угол B + угол D = 180 градусов. А так в трапеции сумма односторонних углов так же равна 180 градусов, т. е. угол A + угол B = 180 градусов и угол С + угол D = 180 градусов, то из этого всего и следует: угол A + угол C = угол A + угол B = 180 градусов, значит угол C = угол B, а это значит, что трапеция равнобедренная (AB=CD). Центр окружности лежит внутри трапеции (для построения). Так же известно, что прямая AC делит угол A пополам. Значит, угол BAC = углу CAD. Но и угол BCA = углу CAD ( как накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC). А от сюда следует, что и угол BAC = углу BCA, значит треугольник ABC равнобедренный (AB=BC). AO=BO=CO=CO - радиус окружности. AB=BC=CD. От суда следует, что треугольники ABO, BCO, CDO равны по трем сторонам. угол BOA = угол СOB = угол DOC = (360-108)/3 = 84 градуса. Т.к. треугольник ABO равнобедренный, то угол ABO=(180-84)/2=48 градусов. Аналогично найдем угол CBO=48 градусов. А угол ABC=угол ABO + угол CBO = 48 +48 = 96 градусов. Ответ: 96 градусов. (Остается качественно сделать рисунок)
